Нумеричке методе

ID: 0673
врста предмета: теоријско-методолошки
носилац предмета: Цветковић С. Александар
извођачи: Пејчев В. Александар, Спалевић М. Миодраг, Цветковић С. Александар
контакт особа: Цветковић С. Александар
ниво студија: основне академске студије
ЕСПБ: 6
облик завршног испита: усмени
катедра: катедра за математику

извођења

  • 5. семестар, позиција 2

циљ

Упознавање студената са основним појмовима теорије редова и основним методама које се користе у нумерким израчунавањима, као и упознавање студената са неким имплементацијама ових нумеричких метода у Матлабу.

исход

По успешном завршетку курса студенти су оспособљени за: - утврђивање конвергенције (дивергенције) нумеричких и функционалних редова, методе апроксимације коришћењем степених редова - израчунавање решења линеарних и нелинеарних једначина, интерерполационог проблема и обичних диференцијалних једначина, у општем случају и употребом Матлаба - израчунавање апроксимација вредности интеграла и извода, у општем случају и употребом Матлаба - праћење прецизности израчунавања

садржај теоријске наставе

Редови. Нумерички редови. Појам конвергенције, дивергенције. Хармониски ред. Редови са позитивним члановима. Dalambertов и Cuachyев критеријум конвергенције. Алтернативни редови. Liebnitzов критеријум конвергенције. Апсолутно конвергентни редови. Семиконвергентни редови. Riemann-Dinieва теорема. Функционални редови. Униформна конвергенција. Weierstreissова теорема. Особине униформно конвергентних редова. Потенцијални редови. Полупречник конвергенције. Развој функције у потенцијални ред. Tayloroв и Maclaurinов ред. Тригонометријски редови. Апсолутна и релативна грешка. Репрезентација бројева у рачунару. Бројеви у покретном зарезу. Значајне цифре. IEEE-754-2008. Класе single и double у Matlabу. Машинска тачност. Аритметичке операције са приближним вредностима. Израчунавање функција са приближним вредностима аргумената. Стабилност израчунавања. Слабо условљена израчунавања. Норме вектора и матрица. Системи линеарних једначина. Gaussова елиминација. LU факторизација. Решавање линераних система једначина у Matlabу. Итеративне методе. Jacobiјева и Gauss-Seidelова метода. Анализа стабилности решења и фактор условљености матрице. Интерполација функција. Lagrangeова интерполација. Newtonова интерполација. Грешка интерполације и Lebesgueова функција. Нумеричко диференцирање. Интерполација и нумеричко диференцијрање у Matlabу. Једностране и двостране методе. Грешка нумеричког диференцирања. Нелинеарне једначине и системи једначина. Newtonова метода. Метод Newton-Kantorovicha. Решавање нелинеарних једначина у Matlabу. Анализа конвергенције и ред метода. Нумеричка интеграција. Newton-Cotesове формуле. Оцена грешке. Нумеричка интеграција у Matlabу. Решавање обичних диференцијалних једначина. Cauchyев проблем. Eulerова метода. Експлицитни и имплитни методи (Adams-Bashforth, Adams-Moulton). Методи Runge-Kutta. Решавање обичних диференцијалних једначина у Matlabу.

садржај практичне наставе

Редови. Поредбени критеријум конвергенције. Dalamberов и Cuachyев критеријум конвергенције. Алтернативни редови. Liebnitzов критеријум конвергенције. Апсолутно конвергентни редови. Семиконвергентни редови. Функционални редови. Униформна конвергенција. Weierstreissова теорема. Особине униформно конвергентних редова. Потенцијални редови. Полупречник конвергенције. Развој функције у потенцијални ред. Тригонометријски редови. Апсолутна и релативна грешка грешка. Репрезентација бројева у рачунару. Бројеви у покретном зарезу. Значајне цифре. IEEE-754-2008 и функција num2hex. Класе single и double у Matlabу. Машинска тачност и функција eps. Губитак значајних цифара приликом израчунавања. Израчунавање функција са приближним вредностима аргумената. Стабилност израчунавања. Слабо условљени системи. Норме вектора и матрица. Системи линеарних једначина. Имплеменација Gaussове елиминације и LU факторизације. Функција linsolve. Инверзија матрица и оператори \ и /. Избор главног елемента. Условљеност система линеарних једначина. Фактор условљеност матрице. Итеративне методе. Имплементација Jacobiјеве и Gauss-Seidelове методе. Анализа конвергенције. Интерполација. Имплементација разних метода интерполације у Matlabу и функција interp1. Грешка интерполације и Lebesgueова функција. Нумеричко диференцирање. Имплементација нумеричког диференцирања у Matlabу и функција diff. Методе једнсотраног и двостраног диференцирања. Грешка нумеричког дифренцирања. Нелинеарне једначине и системи једначина. Имплементација Newtonове методе. Имплементација методе Newton-Kantorovicha. Анализа конвергенције и ред итеративног метода. Нумеричка интеграција и функција integral. Трапезна формула и функција trapz. Грешка нумеричке интеграције. Решавање обичних диференцијалних једначина. Имплементација Eulerовог и линераних вишекорачних метода и функција ode113. Методи Runge-Kutta и функција ode45.

услов похађања

Нема услова.

ресурси

Literatura: A.S. Cvetković, M.M. Spalević, Numeričke metode, Mašinski fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2013. M.M. Spalević, A.S. Cvetković, I. Aranđelović, A. Pejčev, D. Đukić, J. Tomanović, Višestruki krivolinijski i površinski integrali i primene, teorija redova, Mašinski fakultet, 2015. Software: Matlab.

фонд часова

укупан фонд часова: 75

активна настава (теоријска)

ново градиво: 20
разрада и примери (рекапитулација): 10

активна настава (практична)

аудиторне вежбе: 15
лабораторијске вежбе: 15
рачунски задаци: 0
семинарски рад: 0
пројекат: 0
консултације: 0
дискусија/радионица: 0
студијски истраживачки рад: 0

провера знања

преглед и оцена рачунских задатака: 0
преглед и оцена лабораторијских извештаја: 5
преглед и оцена семинарских радова: 0
преглед и оцена пројекта: 0
колоквијум са оцењивањем: 5
тест са оцењивањем: 0
завршни испит: 5

провера знања (укупно 100 поена)

активност у току предавања: 10
тест/колоквијум: 30
лабораторијска вежбања: 30
рачунски задаци: 0
семинарски рад: 0
пројекат: 0
завршни испит: 30
услов за излазак на испит (потребан број поена): 21

литература

A.S. Cvetković, M.M. Spalević, Numeričke metode, Mašinski fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2013.; M.M. Spalević, A.S. Cvetković, I. Aranđelović, A. Pejčev, D. Đukić, J. Tomanović, Višestruki krivolinijski i površinski integrali i primene, teorija redova, Mašinski fakultet, 2015.;