Нумеричке методе

ID: 3259
врста предмета: научно-стручни
носилац предмета: Спалевић М. Миодраг
извођачи: Спалевић М. Миодраг, Цветковић С. Александар
контакт особа: Спалевић М. Миодраг
ниво студија: докторске студије
ЕСПБ: 5
облик завршног испита: усмени

извођења

  • 1. семестар, позиција 2

циљ

Темељно познавање и разумевање метода нумеричке математике. Оспособљавање студената за решавање проблема у овој области уз употребу научних поступака и метода. Способност праћења савремених достигнућа у области нумеричке математике и њених применена, посебно у техници и инжењерским наукама. Реализација нумеричких метода уз коришћење програмских система Матлаб и Математика.

исход

По успешном завршетку овог курса, студенти би требало да буду оспособљени да: • Сналазе се у решавају математичких модела, који настају при решавању проблема у науци, техници и инжењерским наукама, методама нумеричке математике у теорији апроксимација, нумеричком диференцирању и интеграцији, теорији итеративних процеса, нумеричкој линеарној алгебри, нумеричком решавању диференцијалних једначина. • Лоцирају грешке које се јављају у процесу израчунавања, прате њиховo простирање и примењују стечено знање у конструкцији нумерички стабилних поступака. • Владају реализацијом нумеричких метода у програмском систему MATLAB. • Прате савремена достигнућа у области нумеричке математике и њених примена, посебно у техници и инжењерским наукама.

садржај теоријске наставе

Елементи теорије грешака. IEEE-754-2008. Класе single и double у Матлабу. Машинска тачност. Грешке приближних вредности функција. Инверзан проблем грешке. Условљеност проблема. Интерполација, Лагранжеови и Њутнови интерполациони полиноми. Матлаб функција interp1. Нумеричко диференцирање. Матлаб функција diff. Нумеричке методе за решавање нелинеарних једначина и система. Квадратурне формуле интерполационог типа. Матлаб функције integral, trapz. Методи за оцену остатка. Уопштење на вишеструке интеграле. Конструкција Гаусових формула из Јакобијеве матрице QR алгоритмом. Модификације Гаусових формула. Формуле Радау и Лобато типа. Кронродове шеме. Гаус-Турaнове квадратуре и генерализације. Конвергенција квадратурних процеса. Формуле тригонометријског типа. Интеграција брзоосцилаторних функција. Интерполационе кубатурне формуле. Преглед кубатурних формула за неке специјалне области и одређене тежинске функције. Нумеричка линеарна алгебра. Гаусова елиминација. LU факторизација. Условљеност система линеарних једначина. Итеративни методи. Функције linsolve, lu у Матлабу. Теорија апроксимација. Бернштајнова теорема. Средње квадратна апроксимација. Дискретна средње квадратна апроскимација. Чебишевљева мини-макс апроксимација. Имплементација линеарне и нелинеарне регресије у Матлабу. ОДЈ. Кошијев проблем. Ојлеров метод. Конвергенција метода. Кранк-Николсонова метода. Стабилност метода. Стабилност на неограниченим интервалима. Методи вишег реда. Предиктор коректор методи. Системи ОДЈ. Методи Рунге-Кута. ODE фамилија имплементација у Матлабу. ПДЈ. Класификација ПДЈ. Елиптичке једначине. Варијациона формулација Дирихлеовог проблема. Нојманов проблем. Метод коначних разлика за елиптичке једначине. Метода коначног елемента за елиптичке једначине. Проблем сопствених вредности за елиптичке једначине. Параболичке једначине. Варијациона формулација. Хиперболичке једначине. Методе коначних разлика. Методе коначних елемената. PDE toolbox у Матлабу.

садржај практичне наставе

Елементи теорије грешака. IEEE-754-2008. Класе single и double у Матлабу. Машинска тачност. Грешке приближних вредности функција. Инверзан проблем грешке. Условљеност проблема. Интерполација, Лагранжеови и Њутнови интерполациони полиноми. Матлаб функција interp1. Нумеричко диференцирање. Матлаб функција diff. Нумеричке методе за решавање нелинеарних једначина и система. Квадратурне формуле интерполационог типа. Матлаб функције integral, trapz. Методи за оцену остатка. Уопштење на вишеструке интеграле. Конструкција Гаусових формула из Јакобијеве матрице QR алгоритмом. Модификације Гаусових формула. Формуле Радау и Лобато типа. Кронродове шеме. Гаус-Турaнове квадратуре и генерализације. Конвергенција квадратурних процеса. Формуле тригонометријског типа. Интеграција брзоосцилаторних функција. Интерполационе кубатурне формуле. Преглед кубатурних формула за неке специјалне области и одређене тежинске функције. Нумеричка линеарна алгебра. Гаусова елиминација. LU факторизација. Условљеност система линеарних једначина. Итеративни методи. Функције linsolve, lu у Матлабу. Теорија апроксимација. Бернштајнова теорема. Средње квадратна апроксимација. Дискретна средње квадратна апроскимација. Чебишевљева мини-макс апроксимација. Имплементација линеарне и нелинеарне регресије у Матлабу. ОДЈ. Кошијев проблем. Ојлеров метод. Конвергенција метода. Кранк-Николсонова метода. Стабилност метода. Стабилност на неограниченим интервалима. Методи вишег реда. Предиктор коректор методи. Системи ОДЈ. Методи Рунге-Кута. ODE фамилија имплементација у Матлабу. ПДЈ. Класификација ПДЈ. Елиптичке једначине. Варијациона формулација Дирихлеовог проблема. Нојманов проблем. Метод коначних разлика за елиптичке једначине. Метода коначног елемента за елиптичке једначине. Проблем сопствених вредности за елиптичке једначине. Параболичке једначине. Варијациона формулација. Хиперболичке једначине. Методе коначних разлика. Методе коначних елемената. PDE toolbox у Матлабу.

услов похађања

Услов похађања предмета је дефинисан курикулумом студијског програма.

ресурси

1. М.М. Спалевић, М.С. Пранић, Нумеричке методе, Сквер, Крагујевац, 2007. (http://mat.mas.bg.ac.rs) 2. Г.В. Миловановић, М. Ковачевић, М. Спалевић, Нумеричка Математика - Збирка решених проблема, Универзитет у Нишу, 2003. (http://mat.mas.bg.ac.rs) 3. Г.V. Миловановић, Нумеричка анализа 1., 2., 3. део, Научна књига, Београд 1991. 4. Б.С. Јовановић, Нумеричке методе решавања парцијалних диференцијалних једначина, Савремена рачунска техника и њена примена, књ. 8, Мат. Институт, Београд 1989., стр. 130 5. G. Mastroianni, G.V. Milovanović: Interpolation Processes - Basic Theory and Applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer – Verlag, Berlin – Heidelberg, 2008, XIV+444 pp. 6. W. Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, Oxford, 2004 7. W. Gautschi, Numerical Analysis: An Introduction, Birkhäuser, Boston, 1997 8. A. Quarteroni, F. Saleri, Scientific Computing with MATLAB, Springer, 2003. 9. S. Larsson, V. Thomee, Partial Differential with Numerical Methods, Springer, 2005 10. Softver Matlab 11. Softver Mathematica 12. А.С. Цветковић, М.М. Спалевић, Нумеричке методе, Универзитет у Боеграду, 2013.

фонд часова

укупан фонд часова: 35

активна настава (теоријска)

ново градиво: 27
разрада и примери (рекапитулација): 8

активна настава (практична)

аудиторне вежбе: 0
лабораторијске вежбе: 0
рачунски задаци: 0
семинарски рад: 0
пројекат: 0
консултације: 0
дискусија/радионица: 0
студијски истраживачки рад: 0

провера знања

преглед и оцена рачунских задатака: 0
преглед и оцена лабораторијских извештаја: 0
преглед и оцена семинарских радова: 0
преглед и оцена пројекта: 0
колоквијум са оцењивањем: 0
тест са оцењивањем: 0
завршни испит: 0

провера знања (укупно 100 поена)

активност у току предавања: 10
тест/колоквијум: 0
лабораторијска вежбања: 0
рачунски задаци: 0
семинарски рад: 60
пројекат: 0
завршни испит: 30
услов за излазак на испит (потребан број поена): 0

литература

М. Спалевић, М. Пранић, Нумеричке Методе, Сквер, Крагујевац, 2007. (http://mat.mas.bg.ac.rs) ; Г.В. Миловановић, М. Ковачевић, М. Спалевић, Нумеричка Математика - Збирка решених проблема, Универзитет у Нишу, 2003. (http://mat.mas.bg.ac.rs) ; Г.V. Миловановић, Нумеричка анализа 1., 2., 3. део, Научна књига, Београд 1991. ; Б.С. Јовановић, Нумеричке методе решавања парцијалних диференцијалних једначина, Савремена рачунска техника и њена примена, књ. 8, Мат. Институт, Београд 1989., стр. 130; А.С. Цветковић, М.М. Спалевић, Нумеричке методе, Универзитет у Боеграду, 2013.;