• 5. семестар, позиција 2

Упознавање студената са основним појмовима теорије редова и основним методама које се користе у нумерким израчунавањима, као и упознавање студената са неким имплементацијама ових нумеричких метода у Матлабу.

По успешном завршетку курса студенти су оспособљени за: - утврђивање конвергенције (дивергенције) нумеричких и функционалних редова, методе апроксимације коришћењем степених редова - израчунавање решења линеарних и нелинеарних једначина, интерерполационог проблема и обичних диференцијалних једначина, у општем случају и употребом Матлаба - израчунавање апроксимација вредности интеграла и извода, у општем случају и употребом Матлаба - праћење прецизности израчунавања.

Редови. Нумерички редови. Појам конвергенције, дивергенције. Хармониски ред. Редови са позитивним члановима. Dalambertов и Cuachyев критеријум конвергенције. Алтернативни редови. Leibnitzов критеријум конвергенције. Апсолутно конвергентни редови. Семиконвергентни редови. Riemann-Dinieва теорема. Функционални редови. Униформна конвергенција. Weierstrassова теорема. Особине униформно конвергентних редова. Потенцијални редови. Полупречник конвергенције. Развој функције у потенцијални ред. Tayloroв и Maclaurinов ред. Тригонометријски редови. Апсолутна и релативна грешка. Репрезентација бројева у рачунару. Бројеви у покретном зарезу. Значајне цифре. IEEE-754-2008. Класе single и double у Matlabу. Машинска тачност. Аритметичке операције са приближним вредностима. Израчунавање функција са приближним вредностима аргумената. Стабилност израчунавања. Слабо условљена израчунавања. Норме вектора и матрица. Системи линеарних једначина. Gaussова елиминација. LU факторизација. Решавање линераних система једначина у Matlabу. Итеративне методе. Jacobiјева и Gauss-Seidelова метода. Анализа стабилности решења и фактор условљености матрице. Интерполација функција. Lagrangeова интерполација. Newtonова интерполација. Грешка интерполације и Lebesgueова функција. Нумеричко диференцирање. Интерполација и нумеричко диференцијрање у Matlabу. Једностране и двостране методе. Грешка нумеричког диференцирања. Нелинеарне једначине и системи једначина. Newtonова метода. Метод Newton-Kantorovicha. Решавање нелинеарних једначина у Matlabу. Анализа конвергенције и ред метода. Нумеричка интеграција. Newton-Cotesове формуле. Оцена грешке. Нумеричка интеграција у Matlabу. Решавање обичних диференцијалних једначина. Cauchyев проблем. Eulerова метода. Експлицитни и имплитни методи (Adams-Bashforth, Adams-Moulton). Методи Runge-Kutta. Решавање обичних диференцијалних једначина у Matlabу.

Редови. Поредбени критеријум конвергенције. Dalamberов и Cuachyjев критеријум конвергенције. Алтернативни редови. Leibnitzов критеријум конвергенције. Апсолутно конвергентни редови. Семиконвергентни редови. Функционални редови. Униформна конвергенција. Weierstrassова теорема. Особине униформно конвергентних редова. Потенцијални редови. Полупречник конвергенције. Развој функције у потенцијални ред. Тригонометријски редови. Апсолутна и релативна грешка. Репрезентација бројева у рачунару. Бројеви у покретном зарезу. Значајне цифре. IEEE-754-2008 и функција num2hex. Класе single и double у Matlabу. Машинска тачност и функција eps. Губитак значајних цифара приликом израчунавања. Израчунавање функција са приближним вредностима аргумената. Стабилност израчунавања. Слабо условљени системи. Норме вектора и матрица. Системи линеарних једначина. Имплеменација Gaussове елиминације и LU факторизације. Функција linsolve. Инверзија матрица и оператори \ и /. Избор главног елемента. Условљеност система линеарних једначина. Фактор условљеност матрице. Итеративне методе. Имплементација Jacobiјеве и Gauss-Seidelове методе. Анализа конвергенције. Интерполација. Имплементација разних метода интерполације у Matlabу и функција interp1. Грешка интерполације и Lebesgueова функција. Нумеричко диференцирање. Имплементација нумеричког диференцирања у Matlabу и функција diff. Методе једнсотраног и двостраног диференцирања. Грешка нумеричког дифренцирања. Нелинеарне једначине и системи једначина. Имплементација Newtonове методе. Имплементација методе Newton-Kantorovicha. Анализа конвергенције и ред итеративног метода. Нумеричка интеграција и функција integral. Трапезна формула и функција trapz. Грешка нумеричке интеграције. Решавање обичних диференцијалних једначина. Имплементација Eulerовог и линераних вишекорачних метода и функција ode113. Методи Runge-Kutta и функција ode45.

Нема услова.

Software: Matlab.

Укупан фонд часова: 75

Ново градиво: 20
Разрада и примери (рекапитулација): 10

Аудиторне вежбе: 15
Лабораторијске вежбе: 15
Рачунски задаци: 0
Семинарски рад: 0
Пројекат: 0
Консултације: 0
Дискусија/радионица: 0
Студијски истраживачки рад: 0

Преглед и оцена рачунских задатака: 0
Преглед и оцена лабораторијских извештаја: 5
Преглед и оцена семинарских радова: 0
Преглед и оцена пројекта: 0
Колоквијум са оцењивањем: 5
Тест са оцењивањем: 0
Завршни испит: 5

Активност у току предавања: 10
Тест/колоквијум: 30
Лабораторијска вежбања: 30
Рачунски задаци: 0
Семинарски рад: 0
Пројекат: 0
Завршни испит: 30
Услов за излазак на испит (потребан број поена): 21

A.S. Cvetković, M.M. Spalević, Numeričke metode, Mašinski fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2013. ISBN: 987-86-7083-786-7.; M.M. Spalević, A.S. Cvetković, I. Aranđelović, A. Pejčev, D. Đukić, J. Tomanović, Višestruki krivolinijski i površinski integrali i primene, teorija redova, Maš. fak., 2015. ISBN: 978-86-7083-885-7.